Tìm phương trình của parabol \(\left(P\right):y=ax^2+bx+c,a\ne0\) biết \(\left(P\right)\) có đỉnh \(S\left(-2;1\right)\) và đi qua gốc tọa độ
Xác định \(\left(P\right):y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)
biết P đi qua M(4;3), cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho diện tích tam giác INP = 1 với xp < 3. (Gọi I là đỉnh của parabol)Do (P) đi qua \(M\left(4;3\right)\Rightarrow16a+4b+c=3\)
Do (P) cắt Ox tại \(N\left(3;0\right)\Rightarrow9a+3b+c=0\)
\(\Rightarrow7a+b=3\Rightarrow b=3-7a\)
\(9a+3\left(3-7a\right)+c=0\Rightarrow c=12a-9\)
Phương trình hoành độ giao điểm (P) và Ox: \(ax^2+bx+c=0\)
\(\Delta=b^2-4ac=\left(3-7a\right)^2-4a\left(12a-9\right)=\left(a-3\right)^2\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x_P< x_I< x_N< x_M\\y_N< y_M\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) hàm \(y=ax^2+bx+c\) đồng biến trên \(\left(-\frac{b}{2a};+\infty\right)\)
\(\Rightarrow a>0\)
\(\Rightarrow x_N=\frac{-b+\left|a-3\right|}{2a}=\frac{7a-3+\left|a-3\right|}{2a}=3\)
\(\Rightarrow\left|a-3\right|=3-a\Rightarrow0< a< 3\)
\(\Rightarrow S_{INP}=\frac{1}{2}\left(x_N-x_P\right).\left|\frac{-\Delta}{4a}\right|=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{\Delta}}{a}.\frac{\Delta}{4a}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(3-a\right)\left(a-3\right)^2=8a^2\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2+27a-27=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+27\right)=0\Rightarrow a=1\)
\(\Rightarrow b=-4\) ; \(c=3\)
\(\left(P\right):y=x^2-4x+3\)
Xác định a, b, c biết parabol \(y=ax^2+bx+c\)
a. Đi qua 3 điểm \(A\left(0;-1\right);B\left(1;-1\right);C\left(-1;1\right)\)
b. Có đỉnh \(I\left(1;4\right)\) và đi qua điểm \(D\left(3;0\right)\)
Xác định parabol \(y=ax^2+bx+2\), biết rằng parabol đó :
a. Đi qua hai điểm \(M\left(1;5\right)\) và \(N\left(-2;8\right)\)
b. Đi qua điểm \(A\left(3;-4\right)\) và có trục đối xứng là \(x=-\dfrac{3}{2}\)
c. Có đỉnh là \(I\left(2;-2\right)\)
d. Đi qua điểm \(B\left(-1;6\right)\) và tung độ của đỉnh là \(-\dfrac{1}{4}\)
a) Vì parabol đi qua M(1; 5) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình của parabol: 5 = a.12 + b.1 + 2.
Tương tự, với N(- 2; 8) ta có: 8 = a.(- 2)2 + b.(- 2) + 2
Giải hệ phương trình: ta được a = 2, b = 1.
Parabol có phương trình là: y = 2x2 + x + 2.
b) Giải hệ phương trình:
Parabol: y = x2 - x + 2.
c) Giải hệ phương trình:
Parabol: y = x2 - 4x + 2.
d) Ta có:
Parabol: y = 16x2 + 12x + 2 hoặc y = x2 - 3x + 2.
Xác định a, b, c biết parabol \(y=ax^2+bx+c\) đi qua điểm \(A\left(8;0\right)\) và có đỉnh là \(I\left(6;-12\right)\)
Hàm số đi qua \(A\left(8;0\right)\) nên: \(a.8^2+8b+c=0\)\(\Leftrightarrow64a+8b+c=0\).
Hàm số có đỉnh là: \(I\left(6;-12\right)\) nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=6\\6^2.a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12a+b=0\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\).
Vậy ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}64a+8b+c=0\\-b=12a\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=-36\\c=96\end{matrix}\right.\).
Vậy : \(y=-3x^2-36x+96\).
Cho hàm số bậc nhất y= \(\frac{1}{2}x+2\left(d_1\right)\) và y= \(-x+5\left(d_2\right)\)
a) Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hai hàm số đó
b) viết Phương trình đường thẳng (d)y=ax+b biết (d) song song với \(\left(d_2\right)\) và đi qua gốc tọa độ O
Cho a,b,c là các số thực và \(a\ne0\). Chứng minh rằng nếu đa thức \(f\left(x\right)=a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c\) vô nghiệm thì phương trình \(g\left(x\right)=ax^2+bx-c\) có hai nghiệm trái dấu
Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)
TH1: \(a;c\) trái dấu
Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)
Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)
Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Mà a; c trái dấu nên:
- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)
- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu
\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)
Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)
Cho hình hộp chữ nhật OAIB.CEDF có tọa độ các đỉnh là \(A\left(3;0;0\right),B\left(0;4;0\right),C\left(0;0;5\right),O\left(0;0;0\right)\)
a) Xác định tọa độ đỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD)
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABD)
c) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và EF
Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với đồ thị là parabol (P) có đỉnh \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\) và đi qua điểm \(A(1;2)\)
a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng \(y = a{(x - h)^2} + k\), tron đó I(h;k) là tọa độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol (P) đã cho và vẽ parabol này.
b) Từ parabol (P) đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số \(y = f(x)\)
c) Giải bất phương trình \(f(x) \ge 0\)
a) Parabol: \(y = a{(x - h)^2} + k\) với \(I(h;k) = \left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\) là tọa độ đỉnh.
\( \Rightarrow y = a{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\)
(P) đi qua \(A(1;2)\) nên \(2 = a{\left( {1 - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Rightarrow a = 1\)
\( \Rightarrow y = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Leftrightarrow y = {x^2} - 5x + 6\)
Vậy parabol đó là \(y = {x^2} - 5x + 6\)
b) Vẽ parabol \(y = {x^2} - 5x + 6\)
+ Đỉnh \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\)
+ Giao với Oy tại điểm \((0;6)\)
+ Giao với Ox tại điểm \((3;0)\) và \((2;0)\)
+ Trục đối xứng \(x = \frac{5}{2}\). Điểm đối xứng với điểm \((0;6)\) qua trục đối xứng có tọa độ \((5;6)\)
b) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; + \infty } \right)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right)\)
c) \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0\)
Cách 1: Quan sát đồ thị, ta thấy các điểm có\(y \ge 0\) ứng với hoành độ \(x \in ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)
Do đó tập nghiệm của BPT \(f(x) \ge 0\) là \(S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)
Cách 2:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) \ge 0\end{array}\)
Do đó \(x - 2\) và \(x - 3\) cùng dấu. Mà \(x - 2 > x - 3\;\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 2\end{array} \right.\)
Tập nghiệm của BPT là \(S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)
Xác định parabol (P) biết:
a)\(\left(P\right):y=ãx^2+bx+c\)đi qua các điểm A( 1; 1) , B( -1; -3) , O( 0; 0)
b) \(\left(P\right):y=x^2+bx+c\)đi điểm A( 1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng -1
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau :
a) Có tâm \(I\left(5;-3;7\right)\) và có bán kính \(r=2\)
b) Có tâm là điểm \(C\left(4;-4;2\right)\) và đi qua gốc tọa độ
c) Đi qua điểm \(M\left(2;-1;-3\right)\) và có tâm \(C\left(3;-2;1\right)\)
a) \(\left(x-5\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-7\right)^2=4\)
b) \(\left(x-4\right)^2+\left(y+4\right)^2+\left(z-2\right)^2=36\)
c) \(\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=18\)